Question

15．如圖，以正方形ABCD的CD邊長作等邊△DCE，AC和BE交于點F，連接DF．
（1）求∠CBE的度數(shù)；
（2）求證：AF=EF．

Answer 1

分析 （1）由正方形和等邊三角形的性質(zhì)得出BC=CE，∠BCE=150°，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結果；
（2）由SAS證明△BCF≌△CDF，得出∠CBF=∠CDF=15°，求出∠ADF=∠EDF，由SAS證明△ADF≌△EDF，即可得出結論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠BCF=∠DCF=45°，
∵△DCE是等邊三角形，
∴DC=CE=DE，∠CDE=∠DCE=∠DEC=60°，
∴BC=CE，∠BCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°；
（2）證明：在△BCF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCF=∠DCF}&{\;}\\{CF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CDF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF=15°，
∴∠ADF=90°-15°=75°，∠EDF=60°+15°=75°，
∴∠ADF=∠EDF，
在△ADF和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}&{\;}\\{∠ADF=∠EDF}&{\;}\\{DF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EDF（SAS），
∴AF=EF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．