Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=8-2t，PD=$\frac{4}{3}$t．
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BC=8，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動可直接得出QB的長，再根據(jù)∠C=90°，PD∥BC可知PD⊥AC，故$\frac{BC}{AC}$=$\frac{PD}{AP}$，由此可用t表示出PD的長；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由PD∥BC得出APD∽ACB，可用t表示出AD及BD的長，再由BQ∥DP可知當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即8-2t=$\frac{4}{3}$t，解得t=$\frac{12}{5}$．故可得出DP≠BD，即四邊形PDBQ不能為菱形；設點Q的速度為每秒v個單位長度．則BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t．要使四邊形PDBQ是菱形，則PD=BD=PQ．再分PD=BD，PD=BQ兩種情況即可得出結論．

解答 解：（1）∵BC=8，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，
∴QB=8-2t，AP=2t；
∵∠C=90°，PD∥BC，
∴PD⊥AC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{PD}{AP}$，即$\frac{8}{6}$=$\frac{PD}{2t}$，即PD=$\frac{4}{3}$t．
故答案為：8-2t，$\frac{4}{3}$t；

（2）不存在．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8．
∴AB=10．
∵PD∥BC，
∴APD∽ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{AD}{10}$=$\frac{t}{6}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t．
∴BD=AB-AD=10-$\frac{5}{3}$t．
∵BQ∥DP，
∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即8-2t=$\frac{4}{3}$t，解得t=$\frac{12}{5}$．
當t=$\frac{12}{5}$時，DP=$\frac{4}{3}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$，BD=10-$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$=6．
∴DP≠BD．
∴四邊形PDBQ不能為菱形．
設點Q的速度為每秒v個單位長度．
則BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t．
要使四邊形PDBQ是菱形，則PD=BD=PQ．
當PD=BD，即$\frac{4}{3}$t=10-$\frac{5}{3}$t．解得t=$\frac{10}{3}$．
當PD=BQ，t=$\frac{10}{3}$時，即$\frac{4}{3}$×$\frac{10}{3}$=8-$\frac{10}{3}$v，解得v=$\frac{16}{15}$．
∴當點Q的速度為每秒$\frac{16}{15}$個單位時，經(jīng)過$\frac{10}{3}$秒，四邊形PDBQ是菱形．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識，在解答（3）時要分PD=BD，PD=BQ兩種情況進行討論，此題難度較大．