Question

5．二次函數(shù)y=x²+2x圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方（組成一個“W”形狀的新圖象），若直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值．

Answer 1

分析 先確定拋物線y=x²+2x的頂點坐標為（-1，-1）和拋物線y=x²+2x與x軸的交點為（-2，0），（0，0），畫出拋物線，然后把拋物線y=x²+2x圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），有圖象可得當直線y=$\frac{1}{2}$x+b過點A時，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個公共點，易得對應的b的值為1；當直線y=$\frac{1}{2}$x+b與拋物線y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切時，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即-（x+1）²+1=$\frac{1}{2}$x+b有相等的實數(shù)解，利用根的判別式的意義可求出此時b的值．

解答 解：∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴拋物線y=x²+2x的頂點坐標為（-1，-1），
當y=0時，x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2，則拋物線y=x²+2x與x軸的交點為（-2，0），（0，0），
把拋物線y=x²+2x圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0），
如圖，

把直線y=$\frac{1}{2}$x向上平移，當平移后的直線y=$\frac{1}{2}$x+b過點A時，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個公共點，所以$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0，解得b=1；
當直線y=$\frac{1}{2}$x+b與拋物線y=-（x+1）²+1（-2≤x≤0）相切時，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即-（x+1）²+1=$\frac{1}{2}$x+b有相等的實數(shù)解，整理得x²+$\frac{5}{2}$x+b=0，△=（$\frac{5}{2}$）²-4b=0，解得b=$\frac{25}{16}$，
所以b的值為1或$\frac{25}{16}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．