Question

2．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA，CB分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的最小值（　�。�

• A． 5
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 4.75
• D． 4.8

Answer 1

分析 設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD，連接CF，CD，則有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，F(xiàn)C+FD=PQ，由三角形的三邊關(guān)系知，F(xiàn)C+FD＞CD；只有當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，F(xiàn)C+FD=PQ有最小值，最小值為CD的長，即當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CD上時(shí)，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)CD=BC•AC÷AB=4.8．

解答 解：線段PQ長度的最小值時(shí)，PQ為圓的直徑，
如圖，設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD、CF、CD，

∵圓F與AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，F(xiàn)C+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ為圓F的直徑，
∵當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD有最小值，即CD為圓F的直徑，
且S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•CA=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=4.8，即PQ的最小值為4.8，
故選：D．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)，垂線段最短，圓周角定理，以及直角三角形面積的求法，其中根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，PQ=CD為最小值是解本題的關(guān)鍵．