Question

14．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+4與x軸交于A（2，0），B兩點，與y軸交于點C．
（1）填空：m=-3；
（2）點P（a，b）在拋物線上，且0＜a≤6，求△PBC面積的最大值；
（3）設(shè)H為線段BC上一點（不含端點），連接AH，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AH以每秒一個單位速度運動到H點，再沿線段HC以每秒$\sqrt{2}$個單位的速度運動到C后停止，當(dāng)點H的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動中用時最少？

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標(biāo)代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
（2）先求得點B和點C的坐標(biāo)，當(dāng)0＜a＜4時，過點P作x軸的垂線交BC于D．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，將點B的坐標(biāo)代入可求得BC的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），則點D的坐標(biāo)為（a，-a+4）．然后由S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD 可得到△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可得到△PBC的面積的最大值，當(dāng)4≤a≤6時，過點P作y軸的垂線交BC于E．則E（3a-$\frac{1}{2}$a²，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），PE=$\frac{1}{2}$a²-2a，然后依據(jù)S_△PBC=S_△PCE+S_△PBE可得到△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可得到△PBC的面積的最大值；
（3）作點A關(guān)于BC的對稱點A′，過點A′作A′F⊥y軸，垂足為F，交BC與點H，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得到A′（4，2）將y=2代入直線BC的解析式可得到點H的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點A的坐標(biāo)代入得2+2m+4=0，解得：m=-3．
故答案為：-3．
（2）①當(dāng)0＜a＜4時，過點P作x軸的垂線交BC于D．

令y=0得：$\frac{1}{2}$x²-3x+4=0，解得x=2或x=4，
∴B（4，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4，將點B的坐標(biāo)代入得：4k+4=0，解得k=-1，
∴BC的解析式為y=-x+4．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），則點D的坐標(biāo)為（a，-a+4）．
∴DP=（-a+4）-（$\frac{1}{2}$a²-3a+4）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）=-（a-2）²+4．
當(dāng)a=2時  S最大值為4．
②當(dāng)4≤a≤6時，過點P作y軸的垂線交BC于E．

∴E（3a-$\frac{1}{2}$a²，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），PE=（a-3a+$\frac{1}{2}$a²）=$\frac{1}{2}$a²-2a．
∴S_△PBC=S_△PCE+S_△PBE=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$a²-2a）=（a-2）²-4．
當(dāng)a=6時  S最大值為12．
綜上可知，當(dāng)0＜a≤6時，△PBC面積的最大值為12．
（3）作點A關(guān)于BC的對稱點A′，過點A′作A′F⊥y軸，垂足為F，交BC與點H．

∵BC的解析式為y=-x+4．
∴∠OBC=45°．
∵點A與點A′關(guān)于BC對稱，
∴∠ABC=∠A′BC=45°，AB=A′B=2，
∴A′（4，2）．
在Rt△CFH中，∠FCH=45°，即HF=$\sqrt{2}$HC，
∴點M在整個運動中所用的時間為$\frac{AH}{1}$+$\frac{HC}{\sqrt{2}}$=AH+HF．
∴當(dāng)點A′、H、F在一條直線上時，所用時間最短．
將y=2代入y=-x+4得：-x+4=2，解得：x=2，
∴點H的坐標(biāo)為（2，2）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)、求得點A′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．