Question

3．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2，點E、F分別在邊AB、AC上，連接EF，將△AEF沿EF翻折，使A落在BC上的D處，F(xiàn)D⊥BC，則ED=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC=$\sqrt{5}$，然后再證明AB∥FD，從而可知∠AEF=∠EFD，然后由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF=∠DEF，AE=DE，從而可證得AE=DF．
所以四邊形AEDF為平行四邊形，故此△BDE∽△BAC，由相似三角形的性質(zhì)可知$\frac{BE}{AB}=\frac{ED}{AC}$，從而可求得DE=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．

解答 解：如圖所示：

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°．
∴∠FDC=∠B．
∴AB∥FD．
∴∠AEF=∠EFD．
由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF=∠DEF，AE=DE．
∴∠EFD=∠DEF．
∴ED=DF．
∴AE=DF．
∴四邊形AEDF為平行四邊形．
∴AF∥ED．
∴△BDE∽△BAC．
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{ED}{AC}$，即$\frac{1-x}{1}=\frac{x}{\sqrt{5}}$．
解得：x=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．
∴DE=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．
故答案為：$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形、平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，證得四邊形AEDF為平行四邊形，從而得到△BDE∽△BAC是解題的關(guān)鍵..