Question

17．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點，作垂直x軸的直線x=t，交x軸于H，交直線AB于M，交這個拋物線于N．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若M在第一象限，求當(dāng)t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）若∠ABO=∠BNH，求t的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，進(jìn)而代入二次函數(shù)解析式得出b，c的值即可；
（2）根據(jù)作垂直x軸的直線x=t，得出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)性質(zhì)得出即可；
（3）分別利用當(dāng)t$＜-\frac{1}{2}$時，-$\frac{1}{2}$≤t＜4時，t≥4時，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出t的值即可．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交y軸、x 軸于A、B兩點，
∴x=0時，y=2，y=0時，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2
將x=4，y=0，c=2代入y=-x²+bx+c，
得到b=$\frac{7}{2}$，
∴y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2；

（2）如圖：作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，
∴由題意，易得M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
從而得到MN=-t²+$\frac{7}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t （0＜t＜4），
當(dāng)t=-$\frac{2a}$=2時，MN有最大值為：$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=4．

（3）∵∠ABO=∠BNH，
∴tan∠ABO=tan∠BNH
即$\frac{AO}{BO}$=$\frac{BH}{NH}$，
當(dāng)-x²+$\frac{7}{2}$x+2=0時，x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=4，
①如圖1，

t$＜-\frac{1}{2}$時，BH=4-t，NH=t²-$\frac{7}{2}$t-2，
$\frac{4-t}{{t}^{2}-\frac{7}{2}t-2}$=$\frac{2}{4}$，
解得t₁=4（舍去）t₂=-$\frac{5}{2}$，
∴t=-$\frac{5}{2}$，
②如圖2，

-$\frac{1}{2}$≤t＜4時，BH=4-t，NH=-t²+$\frac{7}{2}$t+2，
$\frac{4-t}{-{t}^{2}+\frac{7}{2}t+2}$=$\frac{2}{4}$，
解得t₁=4（舍去）t₂=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$；
③如圖3，

t≥4時，BH=t-4，NH=t²-$\frac{7}{2}$t-2，
$\frac{t-4}{{t}^{2}-\frac{7}{2}t-2}$=$\frac{2}{4}$，
解得t₁=4（舍去）t₂=$\frac{3}{2}$，
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$或t=-$\frac{5}{2}$時，∠ABO=∠BNH．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知分類討論得出是解題關(guān)鍵．