Question

12．在長方形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到對應(yīng)的△GBE，BG延長交DC于點(diǎn)F．
（1）如果點(diǎn)G在長方形ABCD的內(nèi)部，如圖1所示．
①求證：GF=DF；
②若DF=$\frac{1}{2}$DC，AD=4，求AB的長度．
（2）如果點(diǎn)G在長方形ABCD的外部，如圖2所示，DF=kDC（k＞1），請用含k的代數(shù)式表示$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）①只要證明Rt△EGF≌Rt△EDF即可；
②設(shè)DF=FC=a，則AB=BG=2a，GF=a，在Rt△BFC中，根據(jù)BF²=CF²+BC²列出方程即可解決問題．
（2）運(yùn)用（1）中結(jié)論得出，△BEG∽△EFG，得$\frac{EG}{FG}$=$\frac{BG}{EG}$，推出EG²=BG•GF，設(shè)DC=AB=BG=a，則DF=FG=ka，推出EG²=ka²，推出EG=$\sqrt{k}$a，推出AD=2EG=2$\sqrt{k}$a，由此即可解決問題．

解答 解：（1）①證明：如圖1中，連接EF．

∵矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，∠A=∠BGE=∠D=90°，
在Rt△EFG和Rt△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EF}\\{EG=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF；
②設(shè)DF=FC=a，則AB=BG=2a，GF=a，
在Rt△BFC中，∵BF²=CF²+BC²，
∴（3a）²+a²=4²，
解得a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=2a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

（2）如圖2中，連接EF．

由（1）可知，△EFG≌△EFD，
∴∠FED=∠FEG，F(xiàn)D=FG，∵∠BEA=∠BEG，
∴∠BEF=90°，
∵∠BEG+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°，
∠BEG=∠EFG，∵∠BGE=∠FGE=90°，
∴△BEG∽△EFG，
∴$\frac{EG}{FG}$=$\frac{BG}{EG}$，
∴EG²=BG•GF，設(shè)DC=AB=BG=a，則DF=FG=ka，
∴EG²=ka²，
∴EG=$\sqrt{k}$a，
∴AD=2EG=2$\sqrt{k}$a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{k}a}{a}$=2$\sqrt{k}$．

點(diǎn)評 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確性質(zhì)全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．