Question

4．如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F(xiàn)是AB上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象與BC邊交于點E．
（1）當(dāng)F為AB的中點時，求該反比例函數(shù)的解析式和點E的坐標．
（2）設(shè)過（1）中的直線EF的解析式為y=ax+b，直接寫出不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集．
（3）當(dāng)k為何值時，△AEF的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）由條件可求得F點坐標為（3，1），代入函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式，再令y=2代入可求得x的值，可求得E點坐標；
（2）由（1）的條件中E、F的坐標，結(jié)合函數(shù)圖象可求得答案；
（3）可用k分別表示出點E、F的坐標，從而可表示出△AEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=2，
∴AB=2，BC=3，
∵F為AB的中點，
∴點F坐標為（3，1），
∵點F在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{x}$，
∵點E在BC上，
∴E點縱坐標為2，
在y=$\frac{3}{x}$中，令y=2，可求x=$\frac{3}{2}$，
∴E點坐標為（$\frac{3}{2}$，2）；
（2）不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集即直線在反比例函數(shù)下方時對應(yīng)的自變量的取值范圍，
由（1）可知點E、F兩點的橫坐標分別為$\frac{3}{2}$、3，
∴不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集為：0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞3；
（3）由題意可知點E的縱坐標為為2，點F的橫坐標為3，且E、F在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴可設(shè)E（$\frac{k}{2}$，2），F(xiàn)（3，$\frac{k}{3}$），
∴AF=$\frac{k}{3}$，CE=$\frac{k}{2}$，
∴BE=BC-CE=3-$\frac{k}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•BE=$\frac{1}{2}$•$\frac{k}{3}$•（3-$\frac{k}{2}$）=-$\frac{1}{12}$k²+$\frac{k}{2}$=-$\frac{1}{12}$（k-3）²+$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{12}$＜0，
∴S_△AEF是關(guān)于k的開口向下的拋物線，
∴當(dāng)k=3時，S_△AEF有最大值，最大值為$\frac{3}{4}$，
即當(dāng)k的值為3時，△AEF的面積最大，最大面積為$\frac{3}{4}$．

點評 本題為反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、函數(shù)與不等式、反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征、二次函數(shù)的最值及數(shù)形結(jié)合思想等知識點．在（1）中求得F、E點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意數(shù)形結(jié)合，在（3）中用k表示出△AEF的面積是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識點較多，綜合性較強，難度適中．