Question

4．如圖1是一把折疊椅子，圖2是椅子完全打開支穩(wěn)后的側(cè)面示意圖，其中AD和BC表示兩根較粗的鋼管，EG表示座板平面，EG和BC相交于點(diǎn)F，MN表示地面所在的直線，EG∥MN，EG距MN的高度為42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求兩根較粗鋼管AD和BC的長．（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）

Answer 1

分析 作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如圖2，F(xiàn)H=42cm，先在Rt△BFH中，利用∠FBH的正弦計(jì)算出BF≈48.28，則BC=BF+CF=≈90.3（cm），再分別在Rt△BDQ和Rt△ADQ中，利用正切定義用DQ表示出BQ和AQ，得BQ=$\frac{DQ}{tan60°}$，AQ=$\frac{DQ}{tan80°}$，則利用BQ+AQ=AB=43得到$\frac{DQ}{tan60°}$+$\frac{DQ}{tan80°}$=43，解得DQ≈56.999，然后在Rt△ADQ中，利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的長．

解答 解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如圖2，F(xiàn)H=42cm，
在Rt△BFH中，∵sin∠FBH=$\frac{FH}{BF}$，
∴BF=$\frac{42}{sin60°}$≈48.28，
∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；
在Rt△BDQ中，∵tan∠DBQ=$\frac{DQ}{BQ}$，
∴BQ=$\frac{DQ}{tan60°}$，
在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ=$\frac{DQ}{AQ}$，
∴AQ=$\frac{DQ}{tan80°}$，
∵BQ+AQ=AB=43，
∴$\frac{DQ}{tan60°}$+$\frac{DQ}{tan80°}$=43，解得DQ≈56.999，
在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ=$\frac{DQ}{AD}$，
∴AD=$\frac{56.999}{sin80°}$≈58.2（cm）．
答：兩根較粗鋼管AD和BC的長分別為58.2cm、90.3cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．