Question

13．如圖，拋物線y=x²-bx+c交x軸于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAB的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸是x=2列出方程組，解方程組求出b、c的值即可；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x=2對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，連接BC與x=2交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，求出直線BC與x=2的交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{\frac{2}=2}\end{array}\right.$，
解得b=4，c=3，
∴拋物線的解析式為．y=x²-4x+3；
（2）∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x=2對(duì)稱，
∴連接BC與x=2交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
y=x²-4x+3與y軸的交點(diǎn)為（0，3），
∴設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3，
則直線BC與x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和最短路徑問題，掌握待定系數(shù)法求解析式的一般步驟和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．