Question

20．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”．
性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．
理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，求出△ABC的面積．

Answer 1

分析 應(yīng)用：（1）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積

解答 應(yīng)用：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵△AOB與△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=4×6-2×$\frac{1}{2}$×4×3=12．

探究：
解：分為兩種情況：①如圖1，

∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四邊形A′DCB是平行四邊形，
∴BC=A′D=4，
過B作BM⊥AC于M，
∵AB=8，∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=4=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積是$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
②如圖2，

∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的$\frac{1}{4}$，
∴S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四邊形A′BDC是平行四邊形，
∴A′C=BD=4，
過C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$A′C=2，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×$\frac{1}{2}$×A′D×CQ=2×$\frac{1}{2}$×4×2=8；
即△ABC的面積是8或8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，解這個(gè)題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理．題目比較好，但是有一定的難度．