Question

1．已知兩個(gè)二次函數(shù)y₁=-x²+bx+c和y₂=-x²+m，對(duì)于函數(shù)y₁，當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)取最大值．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)y₁的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，求這兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離；
（3）若函數(shù)y₁、y₂的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，2），過點(diǎn)（0，a+3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線l．
①若l與函數(shù)y₁、y₂的圖象只有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則a=-1；
②若l與函數(shù)y₁、y₂的圖象共有4個(gè)不同交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃、x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，求x₄-x₃+x₂-x₁的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于題意知x=2時(shí)，該函數(shù)取得最小值，所以x=2時(shí)該函數(shù)y₁的對(duì)稱軸；
（2）若函數(shù)y₁的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，則分為兩種情況討論，一種是拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，另一種是拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，然后分別求出c的值即可；
（3）①由l與函數(shù)y₁、y₂的圖象只有3個(gè)不同的公共點(diǎn)知直線l過點(diǎn)（1，2），從而得知a+3=2，可得答案；②函數(shù)y₁與y₂經(jīng)過（1，-2），所以可求出c與m的值，根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象可知，若過點(diǎn)（0，a-3）（a為實(shí)數(shù)）作x軸的平行線，與函數(shù)y₁、y₂的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則a+3＜3且a≠-1，再分別求出y₁、y₂分別等于a+3時(shí)x的值，分-1＜a＜0和a＞-1時(shí)x₁、x₂、x₃、x₄的值，從而代入x₄-x₃+x₂-x₁可知最值情況，

解答 解：（1）由題意，得：-$\frac{2×（-1）}$=2，
∴b=4；

（2）①若圖象過原點(diǎn)，則圖象與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
∴兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離為4．
②若與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，得：16+4c=0，
∴c=-4，即y₁=-x²+4x-4=-（x-2）²，
y₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）、（0，-4），
∴這兩點(diǎn)之間的距離為2$\sqrt{5}$，
綜上所述，當(dāng)y₁的圖象與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)時(shí)，
這兩點(diǎn)間距離為4或2$\sqrt{5}$；

（3）①根據(jù)題意知a+3=2，解得：a=-1，
故答案為：-1；
②因?yàn)楹瘮?shù)y₁、y₂的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，2）
所以-1+4+c=2，且-1+m=2，
∴c=-1，m=3，
∴y₁=-（x-2）²+3，y₂=-x²+3，

結(jié)合圖象，由題意，知：a+3＜3，
∴a＜0，
令y₁=a+3，則-x²+4x-1=a+3 即（x-2）²=-a，解得x=2±$\sqrt{-a}$，
令y₂=a+3，則-x²+3=a+3，即x²=-a，解得x=$±\sqrt{-a}$，
因?yàn)閤₁＜x₂＜x₃＜x₄，顯然x₁=-$\sqrt{-a}$，x₄=2+$\sqrt{-a}$，
由①知，a≠-1，則a的取值范圍是a＜0且a≠-1，
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，$\sqrt{-a}$$＜2-\sqrt{-a}$，∴x₂=$\sqrt{-a}$，x₃=2-$\sqrt{-a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=2+$\sqrt{-a}$-（2-$\sqrt{-a}$）+$\sqrt{-a}$-（-$\sqrt{-a}$）=4$\sqrt{-a}$＜4，
當(dāng)a＞-1時(shí)，$\sqrt{-a}$$＞2-\sqrt{-a}$，
∴x₃=$\sqrt{-a}$，x₂=2-$\sqrt{-a}$，
∴x₄-x₃+x₂-x₁=2+$\sqrt{-a}$-$\sqrt{-a}$+2-$\sqrt{-a}$-（-$\sqrt{-a}$）=4，
綜上所述，x₄-x₃+x₂-x₁的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法和數(shù)形結(jié)合的思想，綜合程度較高，需要學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．