Question

11．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，4）兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)B，其對(duì)稱軸是x=-1.5．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)D在拋物線上，連接BD交y軸于點(diǎn)E，連接AE，若AE⊥BD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）將△AOC繞坐標(biāo)平內(nèi)一點(diǎn)Q（n，2）旋轉(zhuǎn)180°后得到△A′O′E′（點(diǎn)A、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、E′），當(dāng)△A′O′E′的三條邊與拋物線共有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)其解析式為y=a（x+1.5）²+k，把A（1，0），C（0，4）代入，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）令y=0，則0=-（x+1.5）²+6.25，解 得x=1或x=-4，
求得B（-4，0），設(shè)E（0，m），根據(jù)勾股定理列方程得到m=2或-2，I．當(dāng)m=2時(shí)，求得直線BD解析式為：y=0.5x+2，解方程組得到D（0.5，2.25），Ⅱ．當(dāng)m=-2時(shí)，求得直線BD解析式為：y=-0.5x-2，解方程組得到D（1.5，-2.75）；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A?（2n-1，4），O?（2n，4），C?（2n，0），I．當(dāng)△A?O?C?與拋物線在直線x=-1.5左側(cè)的部分有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（2n-1＜-1.5），C?（2n，0）與點(diǎn)C重合是左臨界點(diǎn)，A?（2n-1，4）在拋物線上是右臨界點(diǎn)，解方程得到n的范圍是-2＜n＜-1，II．當(dāng)△A?O?C?與拋物線在直線x=-1.5右側(cè)的部分有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（2n-1＞-1.5），O解方程得到n=0，當(dāng)直線A?C?與拋物線唯一的公共點(diǎn)，直線A?C?解析式為：y=-4x+8n，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 （1）∵拋物線對(duì)稱軸是x=-1.5
∴設(shè)其解析式為y=a（x+1.5）²+k，
又拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，4）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=6.25a+k}\\{4=2.25a+k}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{k=6.25}\end{array}\right.$，
∴y=-（x+1.5）²+6.25；
（2）令y=0，則0=-（x+1.5）²+6.25，解 得x=1或x=-4，
 故B（-4，0），
設(shè)E（0，m），在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
∴m²+1²+m²+4²=（1+4）²，
∴m=2或-2，
 I．當(dāng)m=2時(shí)，求得直線BD解析式為：y=0.5x+2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=0.5x+2}\\{y=-（x+1.5）^{2}+6.25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0.5}\\{y=2.25}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D（0.5，2.25），
Ⅱ．當(dāng)m=-2時(shí)，求得直線BD解析式為：y=-0.5x-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-0.5x-2}\\{y=-（x+1.5）^{2}+6.25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1，5}\\{y=-2.75}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴D（1.5，-2.75），
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0.5，2.25）或（1.5，-2.75），
（3）△AOC繞Q旋轉(zhuǎn)180得到△A?O?C?，
∴A?（2n-1，4），O?（2n，4），C?（2n，0），
 I．當(dāng)△A?O?C?與拋物線在直線x=-1.5左側(cè)的部分有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（2n-1＜-1.5），
C?（2n，0）與點(diǎn)C重合是左臨界點(diǎn)，A?（2n-1，4）在拋物線上是右臨界點(diǎn)，
∵y=-（x+1.5）²+6.25，
∴0=-（2n+1.5）²+6.25，（2n-1＜-1.5），
解得：n=-2，
4=-（2n-1+1.5）²+6.25，（2n-1＜-1.5），
解得：n=-1，
∴n的范圍是-2＜n＜-1，
 II．當(dāng)△A?O?C?與拋物線在直線x=-1.5右側(cè)的部分有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，（2n-1＞-1.5），
O?（2n，4）在拋物線上是左臨界點(diǎn)，直線A?C?與拋物線唯一的公共點(diǎn)是右臨界點(diǎn)，

∴4=-（2n+1.5）²+6.25，（2n-1＞-1.5），
解得：n=0，
當(dāng)直線A?C?與拋物線唯一的公共點(diǎn)，
直線A?C?解析式為：y=-4x+8n，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+8n}\\{y=-（x+1.5）^{2}+6.25}\end{array}\right.$，
∴x²-x+8n-4=0，
依題意：△=0，即1-32n+16=0，
解得：n=$\frac{17}{32}$，
∴n的范圍是 0＜n＜$\frac{17}{32}$，
綜上所述：當(dāng)△A?O?E?的三條邊與拋物線共有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍是-2＜n＜-1，或0＜n＜$\frac{17}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，方程組的解法，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．