Question

1．AD是⊙O的直徑，且AD=6． A、B、C、D、E、F為⊙O的六等分點(diǎn)，P為劣弧$\widehat{AF}$上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB、PD、PE．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，求出PA+PB的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到$\widehat{AF}$之間時(shí)（不與點(diǎn)A與點(diǎn)F重合），求出$\frac{PA+PE}{PB+PD}$值．
（3）令t=PA+PB+PD+PE，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OF、OB，設(shè)OA交BF于H．只要證明△AOF是等邊三角形即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，連接AC、AE、EC、BC、CD、PC，在PC上截取PH=PA，連接AH，作CN⊥PD于N，CM⊥PB于M．只要證明PA+PE=PC，PB+PD=$\sqrt{3}$PC，即可解決問(wèn)題；
（3）利用（2）中結(jié)論，求出PC的最大值以及最小值即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）如圖1中，連接OF、OB，設(shè)OA交BF于H．

由題意∠AOB=∠AOF=60°，$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴OA⊥BF，BH=FH，
∵OA=OF，
∴△AOF是等邊三角形，
∴PA=OA=6，F(xiàn)H=OF•sin60°=3$\sqrt{3}$，
∴PB=2HF=6$\sqrt{3}$，
∴PA+PB=6+3$\sqrt{3}$．

（2）如圖2中，連接AC、AE、EC、BC、CD、PC，在PC上截取PH=PA，連接AH，作CN⊥PD于N，CM⊥PB于M．

易知△ACE是等邊三角形，
∴∠APC=∠AEC=60°，
∵PA=PH，
∴△APH是等邊三角形，
∴PA=AH=PH，AC=AE，∠CAE=∠HAP，
∴∠CAH=∠EAP，
∴△ACH≌△AEP，
∴PE=CH，
∴PA+PE=PH+CH=PC，
∵∠CPB=∠CPD=30°，CN⊥PD于N，CM⊥PB于M，
∴CN=CM，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴CB=CD，
∴Rt△PCM≌Rt△PCN，Rt△CMB≌Rt△CND，
∴PM=PN，BM=DN，
∴PB+PD=（PM-BM）+（PN+DN）=2PN=2PC•cos30°=$\sqrt{3}$PC，
∴$\frac{PA+PE}{PB+PD}$=$\frac{PC}{\sqrt{3}PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）由（2）可知PA+PE=PC，PB+PD=$\sqrt{3}$PC，
∴t=PA+PB+PD+PE=（1+$\sqrt{3}$）PC，
∵6$\sqrt{3}$≤PC≤12，
∴6$\sqrt{3}$+18≤t≤12+12$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．