Question

3．已知：拋物線C₁：y=ax²經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{1}{2}$），拋物線C₂：y=$\frac{1}{4}$x²．
（1）求a的值；
（2）如圖1，直線y=kx（k＞0）分別交第一象限內(nèi)的拋物線C₂，C₁于M，N兩點(diǎn)．求證：MO=MN；
（3）如圖2，將拋物線C₁向下平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，0），交y軸于點(diǎn)C，得拋物線C₃．點(diǎn)P是拋物線C₃上在A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），D（0，-6），E（4，0），記△PDE的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．
 ①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
 ②求滿足S為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（2，$\frac{1}{2}$）代入y=ax²即可得到結(jié)論；
（2）求得M（4k，4k²），N（8k，8k²），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論；
（3）①依題意可求出拋物線C₃的解析式為y=$\frac{1}{8}$x²-8，根據(jù)三角形的面積公式得到求得S=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4 （0≤x≤8 ），
②由于S=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13，于是得到在0≤x≤8 的取值范圍內(nèi)，S的取值為：4≤S≤13，即S可取4至13的10個(gè)整數(shù)，當(dāng)S=12時(shí)，x有兩個(gè)值相對(duì)應(yīng)，即存在兩個(gè)點(diǎn)P的位置使S=12，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)（2，$\frac{1}{2}$）代入y=ax²，解得：a=$\frac{1}{8}$；

（2）直線y=kx（k＞0）分別交第一象限內(nèi)的拋物線C₂，C₁于M，N兩點(diǎn)，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{8}{x}^{2}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4k}\\{{y}_{1}=4{k}^{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=0}\\{{y}_{3}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=8k}\\{{y}_{4}=8{k}^{2}}\end{array}\right.$，
∴M（4k，4k²），N（8k，8k²），
∴OM=$\sqrt{（4k）^{2}+（4{k}^{2}）^{2}}$=4k$\sqrt{{k}^{2}+1}$，MN=$\sqrt{（4k-8k）^{2}+（4{k}^{2}-8{k}^{2}）^{2}}$=4k$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴OM=MN；
（3）①依題意可求出拋物線C₃的解析式為y=$\frac{1}{8}$x²-8，
∴S=S_△PDO+S_△POE-S_△ODE=3x+2×（8-$\frac{1}{8}{x}^{2}$）-12
=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4 （0≤x≤8 ），
 ②∵S=-$\frac{1}{4}$x²+3x+4=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+13，
在0≤x≤8 的取值范圍內(nèi)，S的取值為：4≤S≤13，
即S可取4至13的10個(gè)整數(shù)，
又當(dāng)S=12時(shí)，x有兩個(gè)值相對(duì)應(yīng)，即存在兩個(gè)點(diǎn)P的位置使S=12，
所以共有11個(gè)點(diǎn)P使S的值為整數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，三角形的面積的計(jì)算，二次函數(shù)的最值，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．