Question

15．已知拋物線與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-$\frac{5}{2}$，且過點(diǎn)A（1，-6）和點(diǎn)B（-1，0）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）寫出點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出△DEC的面積．

Answer 1

分析 （1）一般式y(tǒng)=ax²+bx+c，再把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組即可求得解析式，把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求得直線CE的解析式，進(jìn)而求得與對稱軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)△DEC的面積等于兩個(gè)三角形面積的和求得即可．

解答 解：（1）拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{5}{2}}\\{a+b+c=-6}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-3}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x+3）²+2，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（-3，2）．
（2）∵對稱軸為x=-3，B（-1，0）．
∴對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-5，0），
設(shè)直線EC的解析式為y=kx-$\frac{5}{2}$，
代入E點(diǎn)得，0=-5k-$\frac{5}{2}$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線EC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
把x=-3代入得y=-1，
∴直線EC與對稱軸的交點(diǎn)為（-3，-1），
∴△DEC的面積=$\frac{1}{2}$×（2+1）×2+$\frac{1}{2}$×（2+1）×3=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．