Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是AC和BC上的動點(diǎn)，在點(diǎn)E和點(diǎn)F運(yùn)動的過程中，BE+EF的最小值為（　　）

• A． $\frac{16}{5}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F⊥BC于F，交AC于E，連接CB′交AD于P，連接BE，再根據(jù)矩形、軸對稱、等腰三角形的性質(zhì)得出PA=PC，那么在Rt△CDP中，運(yùn)用勾股定理求出PC的長，然后由cos∠B′CF=cos∠CPD，求出CF的長．

解答 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F⊥BC于F，交AC于E，連接CB′交AD于P，連接BE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠PAC，
∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是B′，
∴∠PCA=∠BCA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，則PC=x，PD=4-x．
在Rt△CDP中，∵PC²=PD²+CD²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∴x=2.5，
∵cos∠B′CF=cos∠CPD，
∴CF：B′C=DP：CP，
∴CF：4=1.5：2.5，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴B′F=$\sqrt{B′{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴BE+EF的最小值為=$\frac{16}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置是解答此題的關(guān)鍵．