Question

5．下列方程中，有實(shí)根的是（　�。�

• A． $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+3=0$
• B． $\sqrt{x-9}+\sqrt{4-x}=16$
• C． $\sqrt{{x}^{2}+1}-\sqrt{{x}^{2}+2}=1-\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
• D． 6$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}=21+2x-{x}^{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)二次根式的非負(fù)性以及不等式的性質(zhì)判斷A、B、C無實(shí)數(shù)根，利用換元法解方程6$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}$=21+2x-x²，判斷D有實(shí)數(shù)根．

解答 解：A、∵$\sqrt{x+1}$≥0，$\sqrt{x+2}$≥0，
∴$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$+3≥3≠0，
所以方程$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x+2}$+3=0沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{x-9≥0}\\{4-x≥0}\end{array}\right.$，x無解，
所以方程$\sqrt{x-9}$+$\sqrt{4-x}$=16沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵x²+1＜x²+2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{{x}^{2}+2}$＜0，即方程左邊為負(fù)數(shù)．
∵x²+1≥1，
∴$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≤1，
∴1-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥0，即方程右邊為非負(fù)數(shù)，
所以方程$\sqrt{{x}^{2}+1}$-$\sqrt{{x}^{2}+2}$=1-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、設(shè)$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}$=y，則原方程可化為6y=27-y²，
解得y=3或y=-9（舍去）．
當(dāng)y=3時(shí)，x²-2x+6=9，
解得x=-1或3，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1或3都是原方程的根，
所以方程6$\sqrt{{x}^{2}-2x+6}$=21+2x-x²有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無理方程，關(guān)鍵是掌握用換元法解無理方程．也考查了二次根式的非負(fù)性以及不等式的性質(zhì)．