Question

18．（1）問題背景
如圖甲，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足為E，且AD=CD，DE=5，求四邊形ABCD的面積．

小明發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD的一組領(lǐng)邊AD=CD，這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊．于是，小明同學(xué)有如下思考過程： 第一步：將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°； 第二步：利用∠A與∠DCB互補(bǔ)， 證明F、C、B三點共線， 從而得到正方形DEBF； 進(jìn)而求得四邊形ABCD的面積．

請直接寫出四邊形ABCD的面積為25．
（2）類比遷移
如圖乙，P為等邊△ABC外一點，BP=1，CP=3，且∠BPC=120°，求四邊形ABPC的面積．
（3）拓展延伸
如圖丙，在五邊形ABCDE中，BC=4，CD+AB=4，AE=DE=6，AE⊥AB，DE⊥CD，求五邊形ABCDE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD的面積等于正方形EBFD的面積計算即可；
（2）如圖乙中，延長PC至D，取CD=1，連接AD．只要證明△ABP≌△ACD（SAS），即可推出四邊形ABPC的面積等于△APD的面積；
（3）如圖丙中，延長CD至DF=AB，連接EF、BE、CE．只要證明五邊形ABCDE的面積等于四邊形BCFE的面積即可；

解答 解：（1）由題可知${S_{四邊形ABCD}}={S_{正方形DEBF}}={5^2}=25$．
故答案為25．
（2）如圖，延長PC至D，取CD=1，連接AD．


∵等邊△ABC中，∠BAC=60°．
∵∠BOC=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴四邊形ABPC中，∠ABP+∠ACP=360°-180°=180°，
∴∠ABP=∠ACD=180°-∠ACP，
又∵AB=AC，BP=CD，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴AP=AP，∠BAP=∠CAP．
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∴∠CAD+∠PAC=60°，
∴△APD為等邊三角形且PD=PC+CD=3+1=4，
∴${S_{四邊形ABPC}}={S_{△ADP}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{4^2}=4\sqrt{3}$．

（3）如圖，延長CD至DF=AB，連接EF、BE、CE．

∵AB=DF，AE=DE，∠BAE=∠FDE=90°，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴EB=EF．
∵CD+AB=CD+DF=4，BC=4，
∴CD+DF=CF=BC，
∴△EBC≌△EFC（SSS），
∴${S_{五邊形ABCDE}}={S_{四邊形BCFE}}=2{S_{△ECF}}=2×\frac{1}{2}×4×6=24$．

點評 本題考查四邊形綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．