Question

11．如圖，OM=2，MN=6，A為射線ON上的動點，以OA為一邊作內角∠OAB=120°的菱形OABC，則BM+BN的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{26}$
• B． 6
• C． 2$\sqrt{13}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 作N關于直線OB的對稱點N′，連接N′M交OB于B，則MN′=BM+BN的最小值，過N′作N′H⊥ON于H，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：∵四邊形OABC是菱形，∠OAB=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
作N關于直線OB的對稱點N′，連接N′M交OB于B，
則MN′=BM+BN的最小值，
過N′作N′H⊥ON于H，
∵NN′⊥OB于E，
∴∠OEN=90°，
∵∠AOB=30°，
∴∠ONE=60°，
∵OM=2，MN=6，
∴EN=$\frac{1}{2}$ON=4，
∴NN′=8，
∴HN=4，N′H=4$\sqrt{3}$，
∴MH=2，
∴MN′=$\sqrt{M{H}^{2}+HN{′}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴BM+BN的最小值為2$\sqrt{13}$，
故選C．

點評 本題考查了軸對稱-最小距離問題，菱形的性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．