Question

9．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=7，AB⊥AC，點(diǎn)E在邊AD上，滿足$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，點(diǎn)F在AB上，滿足$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$，連結(jié)BE和CF相交于點(diǎn)G，則線段CG的長度是$\frac{10\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 延長BE，CD交于一點(diǎn)H，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，AB∥CD，再通過相似三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：延長BE，CD交于一點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
AD=BC=7，AB=CD=5，
∵$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{AF}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴AF=2，BF=3，AE=$\frac{14}{3}$，
∵AB⊥AC，
∴AC=$\sqrt{{BC}^{2}{-AB}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴CF=$\sqrt{{AF}^{2}{+AC}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵AD∥BC，
∴△HED∽△HBC，
∴$\frac{DH}{CH}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DH=$\frac{5}{2}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{BF}{CH}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{CF-CG}{CG}$=$\frac{3}{\frac{15}{2}}$，
∴CG=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，
故答案為：$\frac{10\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．