Question

14．已知如圖，△ABC是面積為1的正三角形，AC和BC兩邊上的高BE與AD相交于點(diǎn)A₁，延長(zhǎng)AD到C₁，使C₁D=A₁D，連接BC₁，得△A₁BC₁，作其BC₁邊上的高A₁D₁交BD于A₂，延長(zhǎng)A₁D₁到C₂，使A₂D₁=C₂D₁，連接BC₂，得△A₂BC₂，有同樣的方法得△A₃BC₃…當(dāng)A_nB與AB第一次重合時(shí)，△A_nBC_n的面積是$\frac{1}{{3}^{12}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC是面積為1的正三角形，得出△A₁BC₁的面積為$\frac{1}{3}$，進(jìn)而得出△A₂BC₂的面積為$\frac{1}{9}$，以此類(lèi)推解答即可．

解答 解：∵△ABC是面積為1的正三角形，AC和BC兩邊上的高BE與AD相交于點(diǎn)A₁，
∴△ABD的面積為$\frac{1}{2}$，
∴△A₁BD的面積為$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
∵延長(zhǎng)AD到C₁，使C₁D=A₁D，連接BC₁，得△A₁BC₁，
∴△A₁BC₁的面積為$2×\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$，
同理可得：△A₂BC₂的面積為$\frac{1}{9}$，
以此類(lèi)推可得：△A_nBC_n的面積是$\frac{1}{{3}^{12}}$，
故答案為：$\frac{1}{{3}^{12}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出△A₁BC₁的面積為$\frac{1}{3}$和△A₂BC₂的面積為$\frac{1}{9}$，根據(jù)規(guī)律解答即可．