Question

20．如圖，一塊平行四邊形場地ABCD，測得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，連接CE，AF．現(xiàn)計劃在四邊形AECF區(qū)域內(nèi)種植花草．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）求四邊形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得S_△ABD=S_△CBD，又由AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，可得AE∥CF，AE=CF，繼而證得四邊形AECF是平行四邊形；
（2）首先過點B作BH⊥AD，交DA的延長線于點H，利用勾股定理可求得BH，DH的長，然后利用三角形的面積公式，求得AE的長，繼而求得BE與DF的長，則可求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_△ABD=S_△CBD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，$\frac{1}{2}$AE•BD=$\frac{1}{2}$CF•BD，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：過點B作BH⊥AD，交DA的延長線于點H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，
∵AB=2，
∴AH=1，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DH=AH+AD=1+4=5，
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$AD•BH，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×AE=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$，
解得：AE=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
同理：DF=BE=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴EF=BD-BE-DF=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，
∴S_{四邊形AECF}=EF•AE=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．