Question

7．如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊，以AC的中點(diǎn)O為圓心，$\frac{1}{2}$AC長(zhǎng)為半徑作⊙O，交BC于點(diǎn)E，過(guò)O作OD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AE、AD、DC．
（1）求證：D是$\widehat{AE}$的中點(diǎn)；
（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{1}{2}$，且AC=6，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理，由AC為直徑得到∠AEC=90°，由于OD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥AE，則根據(jù)垂徑定理得$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$；
（2）延長(zhǎng)DO交AB于G點(diǎn)，如圖，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠OGA=∠B，再利用三角形外角性質(zhì)有∠ODA=∠DGA+∠GAD，加上∠DAO=∠ODA，于是得到∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）作OH⊥CD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CH=DH，則利用三角形面積公式得S_△OCH=$\frac{1}{2}$S_△ODC，由$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{1}{2}$得S_△OCH=S_△CEF，再根據(jù)圓周角定理，由$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$得到∠ACD=∠ECD，于是可判斷Rt△CEF∽R(shí)t△CHO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CHO}}$=（$\frac{CF}{CO}$）²=1，所以CF=CO=3．

解答 （1）證明：∵AC為直徑，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴D是$\widehat{AE}$的中點(diǎn)；

（2）證明：延長(zhǎng)DO交AB于G點(diǎn)，如圖，
∵OG∥BC，
∴∠OGA=∠B，
∵∠ODA=∠DGA+∠GAD，
∴∠ODA=∠B+∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：作OH⊥CD于H，如圖，則CH=DH，
∴S_△OCH=$\frac{1}{2}$S_△ODC，
∵$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OCH=S_△CEF，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ACD=∠ECD，
∴Rt△CEF∽R(shí)t△CHO，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CHO}}$=（$\frac{CF}{CO}$）²=1，
∴CF=CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握平行線的性質(zhì)、垂徑定理和圓周角定理；會(huì)運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)判斷線段之間的關(guān)系．