Question

12．在四邊形ABD中，∠ACB=∠ACD=∠ABD=45°．
①求證：AB=AD；
②求證：BC+CD=$\sqrt{2}$AC．

Answer 1

分析 ①根據已知條件推出△CDF∽△BAF，由相似三角形的性質得到$\frac{CF}{BF}=\frac{DF}{AF}$，根據對頂角相等得到∠AFD=∠CFB．于是得到△AFD∽△CFB，求出∠ADB=∠ACB=45°，即可得到結論；
（2）延長CD到E使DE=BC，根據已知條件得到A，B，C，D四點共圓，由圓周角定理得到∠EDA=∠ABC，求得△ADE≌△ABC，根據全等三角形的性質得到∠EAD=∠CAB，AE=AC，求得∠EAC=90°，根據等腰直角三角形的性質得到結論．

解答 證明：①∵∠ACD=∠ABD=45°，∠CFD=∠BFA，
∴△CDF∽△BAF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{DF}{AF}$，
∵∠AFD=∠CFB．
∴△AFD∽△CFB，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，；

②延長CD到E使DE=BC，
∵∠ADB=∠ABD=45°，∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠DAB=∠BCD=90°，
∴A，B，C，D四點共圓，
∴∠EDA=∠ABC，
在△ADE與△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABC}\\{DE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠EAD=∠CAB，AE=AC，
∴∠EAC=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
∵CE=DE+CD=CD+BC，
∴BC+CD=$\sqrt{2}$AC．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．