Question

13．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)．過點(diǎn)B作BE∥AD，交⊙O于點(diǎn)E，連接ED
（1）求證：ED∥AC；
（2）若BD=2CD，設(shè)△EBD的面積為S₁，△ADC的面積為S₂，且S₁²-16S₂+4=0，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由AD是△ABC的角平分線，得到∠BAD=∠DAC，由于∠E=∠BAD，等量代換得到∠E=∠DAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可得到結(jié)果；
（2）由BE∥AD，得到∠EBD=∠ADC，由于∠E=∠DAC，得到△EBD∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠E=∠BAD，
∴∠E=∠DAC，
∵BE∥AD，
∴∠E=∠EDA，
∴∠EDA=∠DAC，
∴ED∥AC；

（2）解：∵BE∥AD，
∴∠EBD=∠ADC，
∵∠E=∠DAC，
∴△EBD∽△ADC，且相似比k=$\frac{BD}{DC}=2$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=k²=4，即s₁=4s₂，
∵${{s}_{1}}^{2}$-16S₂+4=0，
∴16${{S}_{2}}^{2}$-16S₂+4=0，
即${（{4S}_{2}-2）}^{2}$=0，
∴S₂=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{2}}$=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BD+CD}{CD}$=$\frac{3CD}{CD}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，記住相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．