Question

5．如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求cos∠E的值．

Answer 1

分析 （1）求證直線EF是⊙O的切線，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求cos∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖，

方法1：連接OD、CD．
∵BC是直徑，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中點(diǎn)．
∵O為CB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是圓O的切線．
方法2：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°
∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．
即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED
∴EF是圓O的切線．

（2）解：連BG．
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°．
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{96}{10}$=$\frac{48}{5}$．
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{14}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．