Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)F在BA的延長線上，F(xiàn)D=FC，點(diǎn)E是AC與DF的交點(diǎn)，且ED=EF，F(xiàn)G∥BC交CA的延長線于點(diǎn)G．
（1）∠BFD=∠GCF嗎？說明理由；
（2）求證：△GEF≌△CED；
（3）求證：BD=DC．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，可知∠B=∠BCA，由FD=FC，可知∠FDC=∠DCF，根據(jù)三角形外角關(guān)系和等式性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）由FG∥BC，可知∠GFE=∠CDE，根據(jù)ASA可證明結(jié)論；
（3）先證明∠B=∠G，可根據(jù)AAS證明△GFC≌△BDF，則GF=DC，根據(jù)△GEF≌△CED，可知GF=CD，等量代換可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∠BFD=∠GCF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵FD=FC，
∴∠FDC=∠DCF，
∵∠BFD=∠FDC-∠B，
∠GCF=∠DCF-∠BCA，
∴∠BFD=∠GCF；
（2）∵FG∥BC，
∴∠GFE=∠CDE，
在△GEF和△CED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GFE=∠CDE}\\{ED=EF}\\{∠FEG=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△CED
（3）∵FG∥BC
∴∠G=∠BCA
∵∠B=BCA
∴∠B=∠G
在△GFC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠BFD=∠GCF}\\{FD=FC}\end{array}\right.$，
∴△GFC≌△BDF，
∴GF=BD，
∵△GEF≌△CED，
∴GF=CD，
∴BD=DC．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．