Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P，BP：PA=1：3，CD=2$\sqrt{3}$．
（1）求⊙O的半徑；
（2）以CD為邊作正方形CDEF，以C為圓心，CF的長為半徑畫弧交CB的延長線于點(diǎn)M，CB的延長線交DE于點(diǎn)N．
①求陰影部分的面積；
②連接OD，請(qǐng)猜想四邊形OBND的形狀，并證明你的猜想；
③若正方形CDEF繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，求邊EF掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出BP=x，進(jìn)而表示出OP=x，在Rt△OPD中，利用勾股定理求出x即可得出結(jié)論；
（2）①先利用銳角三角函數(shù)求出∠PCB=30°，進(jìn)而得出∠NCF=60°，再用扇形的面積公式即可；
②先判斷出OB∥DN，再利用三角形的中位線判斷出OB=DN，得出四邊形OBND是平行四邊形，最后用半徑相等得出四邊形OBND是菱形；
③先判斷出EF掃過的面積是圓環(huán)的面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)BP=x，
∵BP：AP=1：3，
∴AP=3x，
∴AB=AP+BP=4x，
∴OD=OB=2x，
∴OP=OB-PB=x，
∵CD⊥AB，
∴CP=DP=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPD中，根據(jù)勾股定理得，OP²+DP²=OD²，
∴x²+3=（2x）²，
∴x=-1（舍）或x=1，
∴⊙O的半徑為$\frac{1}{2}$AB=2；

（2）①由（1）知PB=x=1，CP=$\sqrt{3}$，
在Rt△BPC中，tan∠PCB=$\frac{PB}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PCB=30°，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CF=CD=2$\sqrt{3}$，∠DCF=90°，
∴∠NCF=90°-30°=60°，
∴S_陰影部分=S_扇形NCF=$\frac{60π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π；

②四邊形OBND是菱形，
理由：∵四邊形CDEF是正方形，
∴∠CDE=90°=∠CPB，
∴OB∥DN，
由（1）知，CP=DP，
∴DN=2PB=OB，
∴四邊形OBND是平行四邊形，
∵OB=OD，
∴?OBND是菱形；

③如圖，

連接OF，延長AB交正方形的邊EF于G，則OG⊥EF，
∴FG=PC=$\sqrt{3}$，
在Rt△OGF中，OF²=OG²+FG²，
∴OF²-OG²=FG²=3
∴正方形CDEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，邊EF掃過的面積=S陰影部分的圓環(huán)=π•OF²-π•OG²=π（OF²-OG²）=πFG²=3π．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了勾股定理，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出x的值，解（2）①的關(guān)鍵是求出∠PCB=30°，解（2）②的關(guān)鍵是判斷出四邊形OBND是平行四邊形，解（2）③的關(guān)鍵是判斷出EF掃過的圖形是以O(shè)為圓心OF和OG為半徑的圓環(huán)，是一道中等難度的題目．