Question

18．數學課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖1，正方形ABCD的邊長為12，P為邊BC延長線上的一點，E為DP的中點，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N．當CP=6時，EM與EN的比值是多少？
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，AB分別于F，G，如圖2，則可得：$\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{EP}$，因為DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，進而可求得EM與EN的比值．
（1）請按照小明的思路寫出求解過程．
（2）小東又對此題作了進一步探究，得出了DP=MN的結論．你認為小東的這個結論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過E作EG∥BC交DC于F，交AB于點G，如圖，由EF∥PC，可證明△DEF∽△DPC，利用相似比可得DF=$\frac{1}{2}$DC=6，EF=$\frac{1}{2}$PC=3，則EG=GF+EF=15，然后根據平行線分線段成比例，由FM∥GN得到$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\frac{1}{5}$；
（2）作MH∥BC交AB于點H，如圖2，則MH=CB=CD，先證明∠1=∠2，然后根據“ASA”可證明△DPC≌△MNH，從而得到DP=MN．

解答 （1）解：過E作EG∥BC交DC于F，交AB于點G，如圖，
∵NE垂直平分DP，
∴DE=EP，
∵EF∥PC，
∴△DEF∽△DPC，
∴$\frac{DF}{DC}$=$\frac{EF}{PC}$=$\frac{DE}{DP}$=$\frac{1}{2}$
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=6，EF=$\frac{1}{2}$PC=3，
∴EG=GF+EF=12+3=15，
∵FM∥GN，
∴$\frac{EM}{EN}$=$\frac{EF}{EG}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$；
（2）結論正確．證明如下：
作MH∥BC交AB于點H，如圖2，則MH=CB=CD，
∵NE⊥PD，
∴∠MED=90°，
∴∠2+∠DME=90°，
∵∠1+∠DME=90°，
∴∠1=∠2，
在△DPC和△MNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{DC=MH}\\{∠DCP=∠MHN}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△MNH，
∴DP=MN．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．也考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質．