Question

16．已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；
（2）記S=S_△OEF-S_△ECF，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）設(shè)出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別表示出△AOE和△BOF的面積，再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可證明結(jié)論；
（2）由條件可分別表示出E、F的坐標(biāo)，用k可表示出S，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及取得最大值時(shí)的k的值．

解答 （1）證明：設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，
由題意得${y_1}=\frac{k}{x_1}$，${y_2}=\frac{k}{x_2}$．
∴${S_1}=\frac{1}{2}{x_1}{y_1}=\frac{1}{2}k$，${S_2}=\frac{1}{2}{x_2}{y_2}=\frac{1}{2}k$．
∴S₁=S₂，即△AOE與△FOB的面積相等．
（2）解：∵OB=4，OA=3，且E、F為反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，
∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為$E（{\frac{k}{3}，3}）$，$F（{4，\frac{k}{4}}）$，
如圖，連接OE、OF，

∴${S_{△ECF}}=\frac{1}{2}EC•CF=\frac{1}{2}（{4-\frac{1}{3}k}）（{3-\frac{1}{4}k}）$，
∴${S_{△EOF}}={S_{矩形AOBC}}-{S_{△AOE}}-{S_{△BOF}}-{S_{△ECF}}=12-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k-{S_{△ECF}}=12-k-{S_{△ECF}}$，
∴$S={S_{△OEF}}-{S_{△ECF}}=12-k-2{S_{△ECF}}=12-k-2×\frac{1}{2}（{4-\frac{1}{3}k}）（{3-\frac{1}{4}k}）$，
∴$S=-\frac{1}{12}{k^2}+k$．
當(dāng)$k=-\frac{1}{{2×（{-\frac{1}{12}}）}}=6$時(shí)，S有最大值，S_max=$\frac{-1}{4×（-\frac{1}{12}）}$=3．
即當(dāng)k=6時(shí)，S有最大值3．

點(diǎn)評 本題主要考查反比例函數(shù)k的意義及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足k=xy是解題的關(guān)鍵．