Question

20．如圖，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點N在拋物線上，直線NB交y軸與點M，∠NBO=∠ABO，求證：△BMO≌△BAO并求出N的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，已知點D（2，-2），在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點P，使△POD∽△NOB（點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng)），求點P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點坐標(biāo)代入可求得a和b的值，可求得拋物線解析式．
（2）由軸對稱的性質(zhì)可證明△AOB≌△COB，可求得M點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BM的解析式，與拋物線的交點即為N點；
（4）將△NOB沿x軸翻折，由三角形相似和全等可求得 $\frac{O{P}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，則可求得P點的坐標(biāo)，再把△OP₁D沿直線y=-x翻折，由對稱性可得另一個滿足條件的點P．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4），
∴把A、B兩點坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．

（2）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出∠MOB=∠AOB，
在△AOB和△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MOB=∠ABO}\\{OB=OB}\\{∠MBO=∠ABO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△COB（ASA），
∴OM=OA=3，
∴點M（0，3），
∴可設(shè)直線CB的解析式為y=kx+3，過點B（4，4），代入可得4=4k+3，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴直線CB的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3，
∵點N在直線CB上，
∴設(shè)點N（n，$\frac{1}{4}$n+3），
又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合題意，舍去），
∴N點的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）；

（3）如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），
∵B₁（4，-4），D（2，-2），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴$\frac{O{P}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴點P₁的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）；
將△OP₁D沿直線y=-x翻折，由對稱性可得另一個滿足條件的點P₂（ $\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$），
綜上所述，點P的坐標(biāo)是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（ $\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個函數(shù)交點坐標(biāo)，學(xué)會利用翻折條件輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．