Question

6．如圖，直線AB：y=kx+3過點(diǎn)（-2，4）與拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$交于A、B兩點(diǎn)；
（1）直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在直線AB的下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（-2，4）代入直線AB：y=kx+3求得k，再與拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$建立方程求得A、B兩點(diǎn)；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵把點(diǎn)（-2，4）代入直線AB：y=kx+3，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
聯(lián)立方程得$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{1}{2}$x+3，
解得：x=-3或x=2．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，$\frac{9}{2}$），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．
（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AB于點(diǎn)Q，
過點(diǎn)A作AM⊥PQ，垂足為M，
過點(diǎn)B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a．
∴y_P=$\frac{1}{2}$a²，y_Q=-$\frac{1}{2}$a+3．
∵點(diǎn)P在直線AB下方，
∴PQ=y_Q-y_P
=-$\frac{1}{2}$a+3-$\frac{1}{2}$a²
∵AM+NB=a-（-3）+2-a=5．
∴S_△APB=S_△APQ+S_△BPQ
=$\frac{1}{2}$PQ•AM+$\frac{1}{2}$PQ•BN
=$\frac{1}{2}$PQ•（AM+BN）
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$a+3-$\frac{1}{2}$a²）•5
=5．
整理得：a²+a-2=0．
解得：a₁=-2，a₂=1．
當(dāng)a=-2時(shí)，y_P=$\frac{1}{2}$×（-2）²=2．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）．
當(dāng)a=1時(shí)，y_P=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$）．
∴符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）或（1，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 此題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，通過解方程組求兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)、用割補(bǔ)法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強(qiáng)．