Question

16．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若AE=18cm，CD=24cm，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，得到∠CAB=∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于R的方程，解方程求出R，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CAB=∠BCD，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，
則OE=18-R，
由勾股定理得，OC²=CE²+OE²，
即R²=12²+（18-R）²，
解得，R=13，
∴⊙O的面積=169πcm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理、圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧以及同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．