Question

19．如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CD是⊙O切線，D在AB的延長線上，作AE⊥CD于E．
（1）求證：AC平分∠BAE；
（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半徑；
（3）請?zhí)剿鳎壕�段AD，BD，CD之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由CD是⊙O切線，得到OC⊥CD，根據(jù)平行線的性質得到∠EAC=∠ACO，有等腰三角形的性質得到∠CAO=∠ACO，于是得到結論；
（2）連接BC，由三角函數(shù)的定義得到sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，得到∠CAE=30°，于是得到∠CAB=∠CAE=30°，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，解直角三角形即可得到結論；
（3）根據(jù)余角的性質得到∠DCB=∠ACO根據(jù)相似三角形的性質得到結論．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠EAC=∠A=CAO，
即AC平分∠BAE；

（2）解：連接BC，
∵AE⊥CE，AC=2CE=6，
∴sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠CAE=30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半徑是2$\sqrt{3}$；

（3）CD²=BD•AD，
證明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，
∵∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$，
即CD²=BD•AD．

點評 本題考查了切線的性質，三角函數(shù)的定義，余角的性質，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．