Question

15．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)O作直線EF交AD于E，交BC于F．
（1）求證：OE=OF；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥EF，交CD于G，連接EG，求證：AE²+CG²=EG²．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△AOF≌△COE，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF，證出EG=FG，由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中點(diǎn)，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DAC}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF；

（2）證明：連接FG，如圖所示：
∵△AOF≌△COE，
∴AE=CF，
∵OE=OF，OG⊥EF，
∴EG=FG，
在Rt△FCG中，F(xiàn)C²+CG²=FG²，
∴AE²+CG²=EG²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．