Question

3．如圖，在△ABC中，∠DBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠A，BD、CE交于點(diǎn)P，探究BE與CD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)PE到F使PF=PD，構(gòu)造△PFB≌△PCD，得到BF=CD，∠PFB=∠PDC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AEC=∠BDC，繼而得到FB=EB，問(wèn)題得以證明．

解答 解：BE=CD．
理由：延長(zhǎng)PE到F使PF=PD．

∵∠DBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠A，
∴BP=PC．
在△PFB和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FP=PD}\\{∠FPB=∠DPC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$
∴△PFB≌△PDC．
∴BF=DC，∠BFE=∠CDP．
∵∠DBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠FPB=∠DBC+∠ECB=∠A．
∴∠FEB=∠A+∠EBP．
∵∠BDC=∠A+∠EBP．
∴∠FEB=∠BDC．
∴∠BFE=∠BEF．
∴BF=BE．
∴BE=DC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的外角的性質(zhì)，利用三角形的外角的性質(zhì)證得∠FEB=∠BDC是解題的關(guān)鍵．