Question

3．如圖，平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，3），線段AB垂直于y軸，垂足為B，將線段AB繞點A逆時針方向旋轉90°，點B落在點C處，直線BC與x軸的交手點D．
（1）試求出點D的坐標；
（2）設直線AD交x軸于點H，y軸上有一動點P，點P從H點出發(fā)向B點運動，設線段PH長為t，過P點作MN∥x軸，交直線BC于M，交直線AD于N，若線段MN的長為y，試用含有t的代數(shù)式表示y；
（3）當y=$\frac{14}{3}$時，在y軸上是否存在一點F，使得以點A、P、F為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，請求出此時F點的坐標；若不存在請說明理由．
（4）在坐標軸上是否存在點X，使直線XA與坐標軸夾角所得的正切值是2？若存在，請直接寫出X的坐標．若不存在，請將題目條件中的2改為$\frac{1}{2}$，并直接寫出X的坐標．

Answer 1

分析 （1）已知A點坐標，根據(jù)AB的長以及線段AB的旋轉條件確定點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式，進一步能求出點D的坐標；
（2）點P、M、N三點都在平行于x軸的直線上，所以這三點的縱坐標相同．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征來求y與t的關系式；
（3）需要分類討論：∠PAF=135°和∠PFA=135°兩種情況來求點F的坐標；
（4）存在，如圖4，過D點A作AC⊥x軸于C，由A（2，3），于是得到AC=3，AB=2，根據(jù)直線XA與坐標軸夾角所得的正切值是2即可得到X₁（3.5，0），X₂（0.5，0），X₃（0，2），X₄（0，4）．

解答 解：（1）如圖1，根據(jù)題意知，點C的坐標為（2，1）．

設直線BC的表達式為y=mx+n．
易得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
所以直線BC的表達式為y=-x+3．
當y=0時，0=-x+3，x=3．
所以點D的坐標為（3，0）．

（2）如圖2．

∵點D在直線BC上，
∴直線BD的解析式為y=-x+3．
∵A（2，3），D（3，0），
∴直線AD的解析式為y=-3x+9．
∴點P的坐標為（0，9-t）．
∵MN∥x軸，
∴點M、N的縱坐標都為（9-t），
∴點M的橫坐標為（t-6），點N的橫坐標為$\frac{t}{3}$，
∴y=$\frac{t}{3}$-（t-6）=-$\frac{2t}{3}$+6；

（3）如圖3，

由題意可得，-$\frac{2t}{3}$+6=$\frac{14}{3}$，則t=2．
可求tan∠ADC=tan∠APB=$\frac{1}{2}$．
∴∠ACD=135°，
∴需要分兩種情況：
①若∠PAF=135°時，$\frac{PA}{CD}$=$\frac{PF}{AD}$，
∴PF=10，
∴F₁（0，-3）；
②若∠PFA=135°時，同理PF=2，則F₂（0，5），

（4）存在，
如圖4，過D點A作AC⊥x軸于C，

∵A（2，3），
∴AC=3，AB=2，
∴X₁（3.5，0），X₂（0.5，0），X₃（0，2），X₄（0，4）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時，利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點．解答（3）、（4）題時要分類討論，以防漏解．