Question

11．已知，如圖所示，在△ABC中，正方形DEFG的頂點(diǎn)D，E在邊BC上，另兩個頂點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且S_△AGF=S_△CEF=1，S_△BDG=3，求S_{正方形DEFG}．

Answer 1

分析 作AN⊥BC于N，交GF于M，如圖，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，則GF=GD=MN=x，根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出AM=$\frac{2}{x}$，則AN=x+$\frac{2}{x}$，再利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{{S}_{△AGF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AN}$）²，即$\frac{1}{1+1+3+{x}^{2}}$=（$\frac{\frac{2}{x}}{x+\frac{2}{x}}$）²，然后求出x²即可．

解答 解：作AN⊥BC于N，交GF于M，如圖，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，則GF=GD=MN=x，
∵_△AGF=1，
∴$\frac{1}{2}$GF•AM=1，
∴AM=$\frac{2}{x}$，
∴AN=x+$\frac{2}{x}$，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AGF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AN}$）²，即$\frac{1}{1+1+3+{x}^{2}}$=（$\frac{\frac{2}{x}}{x+\frac{2}{x}}$）²，
∴x⁴=12，
∴x²=2$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形DEFG}=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時，只有運(yùn)用對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了正方形的性質(zhì)．