Question

4．在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，以B為圓心，BA為半徑作⊙B交BC于點D，旋轉(zhuǎn)∠ABD交⊙B于點E、F．連接EF交AC、BC邊于點G、H．
（1）若BE⊥AC，求證：CG•BH=AB•CH；
（2）若AG=4，求△BEF與△ABC重疊部分的面積；
（3）△BHE是等腰三角形時的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，易證AC∥BF，從而得到△CHG∽△BHF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CG}{BF}$，由BF=BA即可得到結(jié)論；
（2）易知當AG=4時，點G為AC中點，與點E重合，如圖2，過點H作HN⊥BE于N，△BEF與△ABC重疊部分的面積就是△EBH的面積，只需運用三角函數(shù)求出HN，即可解決問題；
（3）只需將△BHE的三個內(nèi)角分別作為等腰三角形的頂角進行分類討論，就可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，

∵BE⊥AC，BE⊥BF，
∴AC∥BF，
∴△CHG∽△BHF，
∴$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CG}{BF}$．
∵BF=BA，
∴$\frac{CH}{BH}$=$\frac{CG}{BA}$，
即CG•BH=AB•CH；

（2）∵∠B=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．
∵AG=4，
∴點G是AC的中點，
此時E與G重合，△ABE是等邊三角形，如圖2．

過點H作HN⊥BE于N，
∵∠EBF=90°，BE=BF，
∴∠BEF=45°，
∴∠EHN=90°-45°=45°=∠BEF，
∴EN=HN．
設HN=x，則EN=x，NB=4-x，
在Rt△HNB中，
由tan∠NBH=$\frac{HN}{NB}$得，$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{x}{4-x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$-2．
∴S_△EBH=$\frac{1}{2}$BE•HN=$\frac{1}{2}$×4×（2$\sqrt{3}$-2）=4$\sqrt{3}$-4，
即△BEF與△ABC重疊部分的面積為4$\sqrt{3}$-4；

（3）①若∠HEB是等腰△BHE的頂角，如圖3，

則有∠EBH=∠EHB=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠ABE=90°-67.5°=22.5°．
②若∠EHB是等腰△BHE的頂角，如圖4，

則有∠EBH=∠HEB=45°，
∴∠ABE=90°-45°=45°．
③若∠EBH是等腰△BHE的頂角，
則∠EBH=180°-45°-45°=90°，
此時點E與點A重合，沒有旋轉(zhuǎn)，故舍去．
綜上所述：△BHE是等腰三角形時的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為22.5°或45°．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，利用三角函數(shù)求出HN是解決第（2）小題的關鍵，運用分類討論的思想是第（3）小題的關鍵，當?shù)妊�三角形的頂角不確定時，常常需要分類討論．