Question

16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過(guò)等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線y=$\frac{k}{x}$也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，連接BC．

（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，2）；
（2）判斷△ABC的形狀，并求出它的面積；
（3）若點(diǎn)P為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點(diǎn)M，使得△PAM是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)．由于△AOB是等腰直角三角形，得出AM=AN，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），又點(diǎn)A在直線y=3x-4上，列出關(guān)于a的方程，求出a的值，進(jìn)而得到A的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理求出AC，AB以及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理判斷出三角形ABC形狀，進(jìn)而求出面積即可；
（3）雙曲線上是存在一點(diǎn)M（4，1），使得△PAM是等腰直角三角形，理由為：過(guò)B作BQ⊥x軸交雙曲線于M點(diǎn)，連接AM，如圖2所示，過(guò)A點(diǎn)作AP⊥AM交x軸于P點(diǎn)．由ASA易證△AOP≌△ABM，得出AP=AM，那么△APM是所求的等腰直角三角形．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系得出結(jié)果．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），點(diǎn)A在直線y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得：a=2，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）；
故答案為：（2，2）；
（2）∵A（2，2），
∴ON=BN=2，OB=ON+BN=4，
∴B（4，0），
對(duì)于直線y=3x-4，
令x=0，得到y(tǒng)=-4，即C（0，-4），
∴AC²=2²+6²=40，AB²=2²+2²=8，BC²=4²+4²=32，
∴AC²=AB²+BC²，
∴△ABC為直角三角形，即∠ABC=90°，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8；
（3）雙曲線上是存在一點(diǎn)M（4，1），使得△PAM是等腰直角三角形．
如圖2所示，過(guò)B作BM⊥x軸交雙曲線于M點(diǎn)，連接AM，過(guò)A點(diǎn)作AP⊥AM交x軸于P點(diǎn)，則△APM為所求作的等腰直角三角形，

將點(diǎn)A（2，2）代入反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{k}{x}$，
解得：k=4，即反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵△OAB為等腰直角三角形，
∴OA=BA，∠OAB=∠PAM=90°，
∴∠OAB-∠PAB=∠PAM-∠PAB，即∠OAP=∠BAM，
在△AOP和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPA=∠BAM}\\{AO=BA}\\{∠AOP=∠ABQ=45°}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△ABM（ASA），
∴AP=AM，
∴△APM是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），點(diǎn)M在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴M（4，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．