Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（4，0），P為函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥AP于P，PC=PA，D為BC的中點(diǎn)，連接PD．
（1）如圖①，若PA⊥OA于點(diǎn)A．
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求PD的長(zhǎng)；
（2）如圖②，若PA不垂直于OA，連接OP，求$\frac{OP}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）①由PA與y軸垂直，得到A與P縱坐標(biāo)相同，把A縱坐標(biāo)代入反比例解析式求出x的值，確定出P坐標(biāo)即可；
②根據(jù)PC與AP垂直，由AP的長(zhǎng)及P的坐標(biāo)確定出C的坐標(biāo)，再由D坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PD的長(zhǎng)即可；
（2）不妨取P（4，2），求出OP的長(zhǎng)，設(shè)C（x₀，y₀），由A與P坐標(biāo)求出k_AP，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出k_PC的值，利用斜率公式列出關(guān)系式，再由PA=PC列出關(guān)系式，聯(lián)立求出x₀與y₀的值，確定出C坐標(biāo)，根據(jù)B與C坐標(biāo)求出中點(diǎn)D坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出PD的長(zhǎng)，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）①若PA⊥OA，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為4，
∵點(diǎn)P在y=$\frac{8}{x}$上，
∴4=$\frac{8}{x}$，即x=2，
則P坐標(biāo)為（2，4）；
②∵PA=PC，AP⊥PC，
∴C（2，2），
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴D坐標(biāo)為（3，1），
∴PD=$\sqrt{（3-2）^{2}+（1-4）^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（2）不妨取P（4，2），可得OP=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
設(shè)C（x₀，y₀），則k_AP=-$\frac{1}{2}$，
∴k_PC=2，
∴$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-4}$=2①，
由PA=PC，得到（x₀-4）²+（y₀-2）²=4²+2²②，
聯(lián)立①②，解得：x₀=2或x=6（舍去），
y₀=-2，即C的坐標(biāo)（2，-2）
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴D（3，-1），
∴PD=$\sqrt{（3-4）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則$\frac{OP}{PD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．