Question

17．如圖，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，
（1）根據(jù)下列語句作圖并保留作圖痕跡；作Rt△ABC的外接圓⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線PA與AC的垂直平分線交于點(diǎn)P；并寫出 過點(diǎn)A作⊙O的切線PA的作圖依據(jù)；
（2）連接PC，求證：PC是⊙O的切線；
（3）已知PA=AC=$\sqrt{3}$，求線段PA、PC與弧AC圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形外接圓的性質(zhì)，可得斜邊中點(diǎn)為點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，然后根據(jù)切線的判定定理作出過點(diǎn)A的⊙O的切線PA；
（2）連結(jié)OC，利用切線的性質(zhì)與判定，得出∠OAC+∠CAP=∠OCA+∠PCA=90°，即可得出答案；
（3）根據(jù)（2）中所求，可以得出△PAC是等邊三角形，進(jìn)而得出r=1，∠AOP=60°，∠AOC=120°，即可求出所求圖形的面積．

解答 （1）解：如圖所示：
作圖依據(jù)：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

（2）證明：連結(jié)OC．
∵點(diǎn)P、O在AC垂直平分線上，
∴PA=PC，AO=CO，
∴∠PAC=∠PCA，∠OAC=∠OCA，
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∴∠OAC+∠CAP=∠OCA+∠PCA=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；

（3）解：∵PA，PC都是⊙O的切線，
∴PA=PC，
∵PA=AC=$\sqrt{3}$，
∴PA=AC=PC，
∴△PAC是等邊三角形，
∴∠PAC=60°，
∴∠OAC=30°，
∴r=1，∠AOP=60°，∠AOC=120°，
∴S_{四邊形AOCP}=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$×2=$\sqrt{3}$，
S_扇形AOC=$\frac{1}{3}$π，
∴線段PA、PC與弧AC圍成的圖形的面積為$\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}$π．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，其中涉及到切線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的求法和作復(fù)雜圖形，根據(jù)已知得出正確圖形是解題關(guān)鍵．