Question

10．已知如圖：AB是⊙O的直徑，點P在線段AB的延長線上，BP=OB=2，點Q是半圓上一動點（不與A、B重合），連接PQ，交⊙O于點C．下列結(jié)論：①∠QAP=∠BCP；②$\frac{CP}{QP}$=$\frac{BP}{AP}$；若點Q為劣弧$\widehat{AC}$的中點，則C是PQ的中點；④若點Q與C重合時，則PQ=2$\sqrt{3}$．其中正確的是①③④0（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

Answer 1

分析 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到∠QAP=∠BCP，故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$，故②錯誤；連接OQ，根據(jù)垂徑定理得到OQ⊥AC，推出OQ∥BC，于是得到C是PQ的中點；故③正確；若點Q與C重合時，PQ=PC，于是得到PQ²=PA•PB，代入數(shù)據(jù)即可得到PQ=2$\sqrt{3}$，故④正確．

解答 解：∵四邊形ABCQ是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠QAP+∠BCQ=180°，
∵∠BCQ+∠BCP=180°，
∴∠QAP=∠BCP，故①正確；
∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PQA，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$，故②錯誤；
連接OQ，
∵點Q為劣弧$\widehat{AC}$的中點，
∴$\widehat{AQ}$=$\widehat{CQ}$，
∴OQ⊥AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，
∴OQ∥BC，
∵PB=OB，
∴PC=CQ，
∴C是PQ的中點；故③正確；
∵若點Q與C重合時，PQ=PC，
∵$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PQ}$，
∴PQ²=PA•PB，
∵BP=OB=2，
∴PA=6，
∴PQ=2$\sqrt{3}$，故④正確，
故答案為：①③④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，掌握政策輔助線是解題的關(guān)鍵．