Question

14．某中學(xué)計劃從一文體公司購買甲，乙兩種型號的小黑板，經(jīng)洽談，購買一塊甲型小黑板比購買一塊乙型小黑板多用20元，且購買2塊甲型小黑板和3塊乙型小黑板共需440元．
（1）求購買一塊甲型小黑板、一塊乙型小黑板各需多少元？
（2）根據(jù)該中學(xué)實際情況，需從文體公司購買甲，乙兩種型號的小黑板共60塊，要求購買甲，乙兩種型號小黑板的總費用不超過5240元．并且購買甲型小黑板的數(shù)量不小于購買乙型小黑板數(shù)量的$\frac{1}{2}$．則該中學(xué)從文體公司購買甲，乙兩種型號的小黑板有哪幾種方案？哪種方案的總費用最低？

Answer 1

分析 （1）購買一塊甲型小黑板需x元、一塊乙型小黑板需y元，根據(jù)兩種小黑標費用間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買a塊甲型小黑板，則購買（60-a）塊乙型小黑板，根據(jù)總費用不超過5240元且購買甲型小黑板的數(shù)量不小于購買乙型小黑板數(shù)量的$\frac{1}{2}$，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，從而即可得出各購買方案，再根據(jù)兩種小黑板單價間的關(guān)系，即可得出總費用最低的購買方案．

解答 解：（1）購買一塊甲型小黑板需x元、一塊乙型小黑板需y元，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=20}\\{2x+3y=440}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=100}\\{y=80}\end{array}\right.$．
答：購買一塊甲型小黑板需100元、一塊乙型小黑板需80元．
（2）設(shè)購買a塊甲型小黑板，則購買（60-a）塊乙型小黑板，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{100a+80（60-a）≤5240}\\{a≥\frac{1}{2}（60-a）}\end{array}\right.$，
解得：20≤a≤22，
∴當(dāng)a=20時，60-a=40；當(dāng)a=21時，60-a=39；當(dāng)a=22時，60-a=38．
∴方案一：購買20塊甲型小黑板、40塊乙型小黑板；方案二：購買21塊甲型小黑板、39塊乙型小黑板；方案三：購買22塊甲型小黑板、38塊乙型小黑板．
∵100＞80，
∴購買的甲型小黑板越少總費用越低，
∴方案一總費用最低．

點評 本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)購買要求，列出關(guān)于a的一元一次不等式組．