Question

3．如圖（1），拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）k=-3，點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）；
（2）設拋物線y=x²-2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在拋物線y=x²-2x+k上求出點Q坐標，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析 （1）把C點坐標代入y=x²-2x+k可其凷k=-3，從而得到拋物線解析式為y=x²-2x-3，然后解方程x²-2x-3=0可得到A、B點的坐標；
（2）把二次函數(shù)解析式配成頂點式可得M（1，-4），拋物線的對稱軸交x軸于N，如圖（1），利用四邊形ABMC的面積=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△MNB和三角形面積公式計算即可；
（3）作DE∥y軸交直線BC于E，如圖（2），先利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x-3，設D（x，x²-2x-3），則E（x，x-3），則可表示出DE=-x²+3x，利用三角形面積公式得到S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（4）先判斷△OBC為等腰直角三角形得到∠OCB=∠OBC=45°，討論：當∠CBQ=90°時，BQ交y軸于G點，如圖（3），所以∠OBG=45°，則G（0，3），易得直線BG的解析式為y=-x+3，再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得Q點坐標；當∠BCQ=90°時，CQ交x軸于H點，如圖（3），用同樣方法得到此時Q點坐標．

解答 解：（1）把C（0，-3）代入y=x²-2x+k得k=-3，
則拋物線解析式為y=x²-2x-3，
當y=0時，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0）；
故答案為-3，（-1，0），（3，0）；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則M（1，-4），
拋物線的對稱軸交x軸于N，如圖（1），
四邊形ABMC的面積=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△MNB=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×4×（3-1）=9；
（3）存在．
作DE∥y軸交直線BC于E，如圖（2），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
設D（x，x²-2x-3），則E（x，x-3），
∴DE=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當x=$\frac{3}{2}$時，S_△BCD有最大值，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴x=$\frac{3}{2}$時，四邊形ABDC的面積最大，
此時D點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（4）∵OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
當∠CBQ=90°時，BQ交y軸于G點，如圖（3），則∠OBG=45°，
∴OG=OB=3，則G（0，3），
易得直線BG的解析式為y=-x+3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴Q（-2，5）；
當∠BCQ=90°時，CQ交x軸于H點，如圖（3），則∠OCH=45°，
∴OH=OC=3，則H（-3，0），
易得直線CH的解析式為y=-x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴Q（1，-2）；
綜上所述，點Q坐標為（1，-2）或（2，5）時，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會求二次函數(shù)和一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標；能利用相似比表示線段之間的關系；理解坐標與圖形性質(zhì)．