Question

4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中點，DE⊥AC，AE∥BD，
（1）證明：△ADE≌△DCB；
（2）連接BE，判斷四邊形BCDE的形狀，并證明；
（3）若BC=4，AE=5，則四邊形ACBE的周長是多少？

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質得出∠CDB=∠DAE，求出∠C=∠ADE=90°，AD=DC，由ASA證明△ADE≌△DCB即可；
（2）由全等三角形的性質得出DE=BC=4，BD=AE=5，再證出DE∥BC，得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得出結論；
（3）根據勾股定理求出CD，得出AD，由矩形的性質得出BE=CD，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵AE∥BD，
∴∠CDB=∠DAE，
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∵D為AC中點，
∴AD=CD，
在△ADE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠C}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠DAE=∠CDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCB（ASA）；
（2）解：四邊形BCDE是矩形；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△DCB，
∴DE=BC=4，BD=AE=5，
又∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴四邊形BCDE是矩形；
（3）解：在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴AD=CD=3，
∵四邊形BCDE是矩形，
∴CD=BE=3，
∴四邊形ACBE的周長是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18．

點評 本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握矩形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵，本題綜合性比較強，有一定的難度．