Question

16．如圖，已知AD是⊙O的弦，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，DE是⊙O的切線且與弦AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，若AC=3，AE=8，則AD的長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 如圖，連接BD、BC，構(gòu)建相似三角形△AED∽△ADC，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求AD的長(zhǎng)度．

解答 解：如圖，連接BD、BC．
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD，即∠DAE=∠CAD  
∵DE為圓O切線，
∴∠EDB=∠BCD，∠BDA=∠BCA，
∴∠EDB+∠BDA=∠BCD+∠BCA，即∠EDA=∠DCA，
∴△AED∽△ADC，
∴AE：AD=AD：AC，
∴AD²=AC•AE，
∵AC=3，AE=8，
∴AD²=24，
∴AD=2$\sqrt{6}$．
故答案是：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角、弧、弦的關(guān)系，三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．