Question

1．平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙O交x軸于E、F兩點，過點A（4，0）的直線與y軸相交于點C．
（1）如圖1，當(dāng)直線AC與⊙O相切于點B時：
①求AB的長；②求直線AC的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如圖2，將直線AC繞點A逆時針轉(zhuǎn)過一定角度，與⊙O交于點B、D，連接EB、OD，當(dāng)AB=BD時：
①判斷OD與EB的位置關(guān)系，并說明理由；②求出AD的長．

Answer 1

分析 （1）①先求出OB，利用勾股定理即可求出AB，
②先求出∠OAB=30°，利用銳角三角函數(shù)求出OC，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）①先判斷出∠EBF=90°，再判斷出BF是△AOD的中位線，即可得出BF∥OD即可得出結(jié)論；
②先判斷出△ABF∽△AED，得出比例式即可求出AB，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，
連接OB，∵直線AC與⊙O相切于點B，
∴∠ABO=90°，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵⊙O半徑為2，
∴AB=2$\sqrt{3}$，

②由①知，在Rt△ABO中，OA=4，OB=2，
∴sin∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAB=30°，
在Rt△AOC中，∠OAB=30°，OB=4，
∴OC=OB•tan∠OAB=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵A（4，0），
∴4k+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=0，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）①OD⊥BE，理由：如圖2，
連接BF，∵EF是⊙O的直徑，
∴∠EBF=90°，OF=2，
∵OA=4，
∴AF=OF=2，
∵點B時AD的中點，
∴BF是△AOD的中位線，
∴BF∥OD，
∴∠BGD=∠EBF=90°，
∴OD⊥BE，

②連接DE，∵四邊形BDEF是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AFB=∠ADE，
∵∠BAF=∠EAD，
∴△ABF∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AD}$，
∵AF=2，AE=6，AD=2AB，
∴$\frac{AB}{6}=\frac{2}{2AB}$，
∴AB=$\sqrt{6}$，
∴AD=2AB=2$\sqrt{6}$．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了圓的切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的中位線，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，解（1）的關(guān)鍵是求出∠OAB，解（2）的關(guān)鍵是判斷出BF時△OAD的中位線．